学做家长｜带着孩子们“重新‘发明’”“作为‘概念’的‘（自然）数’”

转按：笔者猜想，“作为‘概念’的‘（自然）数’”是先有其文字后有其语言的，“作为‘概念’的‘（自然）数’”是初民们在对事物的“多少”这一“属性”的“‘书面’记录”样式的逐步、渐进地抽象中并领会到“多少”其实“既无穷又无限”后才发明的或者说认识到的。这一猜想可算是笔者曾在风闻社区的贴文《 请教与讨论｜自然数是先有其文字的还是先有其语言的，或问，自然数是如何被发明的》中所问问题的可能解答之一。

原标题： 学做家长｜引导孩子们“重新发明”自然数及其加减乘除的运算规则（一）：发明作为概念的（自然）数-下｜小学数学最该学的数学理念怎么教

原按：略

前言

略

第一章

引导孩子们“重新发明”“自然数”

及其加减乘除的运算规则

第一节

“重新发明”“自然数”

并导入相关基本概念

导读：略。

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  备课教案 - 模拟课堂  

    课    训    

 “愚蠢的问题不仅允许，而且受欢迎。” 

👍👍👍

教学目标

带孩子们澄清/重构大脑中对自然数的认识并导入相关数学基本概念

课时设置

8个课时，前4个课时最好上午四节课连着上（可与其它科目调课）

教案将按照每两个课时连上来写

内容安排：略

内容简介：略

第一课时、第二课时的内容见：

学做家长｜引导孩子们重新“发明”自然数及其加减乘除的运算规则（一）：发明自然数并导入相关概念-上｜小学数学最该学的数学理念怎么教

第三课时、第四课时的内容见：

学做家长｜引导孩子们重新“发明”自然数及其加减乘除的运算规则（一）：发明自然数并导入相关概念-中｜小学数学最该学的数学理念怎么教

第五、六、七、八课时

回顾总结以温习“重新发明”“数”的过程

从中提炼出一些与数学相关的基本概念

并以之理解“作为‘概念’的‘（自然）数’”

【核心理念：1、语言，是感性的自然界。2、对象性本质力量的主体性。3、感觉在自己的实践中直接成为理论家。】

开场白

师：同学们好。

生：老师好。

师：我们的课训是？

生：“愚蠢的问题不仅允许，而且受欢迎。”

师：对，“愚蠢的问题不仅允许，而且受欢迎。”

人类取得的进步，尤其是是科学上的进步，很大一部分都是由一些绝顶聪明的大脑对一些貌似愚蠢的问题进行思考并取得重大突破而推动和取得的。所以，在老师这里，什么问题都可以问，什么问题都可以大胆地去猜想答案，什么想法都可以拿出来跟大家分享，我们不仅允许，而且热烈欢迎。

同学们，对不对？

生：……

师：很好，那老师希望大家在课上要认真听讲，积极思考，踊跃发言。

同学们，好不好？

生：……

正题

师：好，现在我们进入正题。

我们最近在讲的这个章节的内容是关于自然数的，然而，虽然这个章节我们已经上了四节课了，但是，似乎，注意啊，我说的是似乎，似乎连“自然数”这个名字或者说这个词儿都没提到过。

同学们，你们发现没有？

生：……

师：大家觉得奇怪吗？

生：……

师：其实，关于自然数的主要内容我们已经在前四节课学习过了，怎么学习的呢？就是在我们与古人一起发明“数”的过程中学习的。

这个“数”其实就是“自然数”，只不过老师一直没有提到“自然数”这个名称。为什么呢？这个问题先放在这里，在我们讲过后面的内容后，你们就自然明白了。

那么，同学们，你们还记得“数”是怎么被我们一步一步地逐渐发明出来的吗？

生：……

（7）回顾与总结

师：嗯，大家记住的内容都不太一样。

那这样，老师带大家对这个发明“数”的过程进行一个回顾和总结，并提炼出讲清楚自然数所必需的一些基本的“字词”或者说“词汇”，我们管这些基本“词汇”叫“概念”，有了这些“概念”，我们才能更深刻地认识自然数及其本源、以及其性质和意义。

好，我们现在开始回顾。

大家还记得我们一开始讲的古人甲、古人乙与兔子的故事吗？

生：……

师：古人甲当时向古人乙表达兔子比人多的意思时，他是怎么说的呢？

生：……

师：对，他是用大果树上果子的多少与兔子的多少做类比，再用小果树上果子的多少与部落的人的多少做类比，通过大小果树上果子的多少为中介，得到了兔子比人多的结论。

那你们还记得古人甲究竟是如何对大果树上果子的多少与兔子的多少进行类比比较的吗？谁来说说？举手。

生：……

师：嗯，对。

类比中采用了一个中介即“‘多少’的‘象’”，“‘多少’的‘象’”也就是这个“多少”给人的“感觉”上的“印象”，类比的其实是两个“‘多少’的‘象’”在“多少”这个给人的“感觉”上的“相似性”。

具体类比的方式是采取“一一对应”的方式：在脑子里这边拿一只兔子，那边拿一个果子，这边拿一只兔子，那边拿一个果子，拿只兔子，拿个果子，兔子，果子，……直到果子拿没了，兔子还有多的，于是知道了兔子比果子多，如果兔子剩余的比较少，就说兔子的多少与果子的多少是差不多的。对吧？

生：……

师：这个“一一”对应的方式其实跟我们小时候学数数的方式是差不多的，大家都有掰手指头数东西的经历吧，一个手指头对应一个我们数的对象，就那么数起来了，数着数着，发现手指头用完了，咋办？请脚趾头来帮忙？哈哈。虽然我们现在的数数是在已经有了数字的情况下，借用手指头只是用来帮我们初学时数得准确的，但古人认识对象事物的多少这个属性的方式还是被我们继承了下来，就像印刻在我们身体里或者说头脑里的本能一样。对不对？

生：……

师：好，这是靠嘴巴说对象事物的“多少”的。接下来我们回顾一下古人是怎么记录这个“多少”的。

比如故事中古人那个部落第二天去捕猎兔子了，抓了好多只兔子，并且想要将究竟是抓了多少的这个“多少”记录下来，那该怎么办呢？

哪位同学来说说？

生：……

师：对，最简单直接的方法就是将兔子有多少的这个“多少”给人的“感觉”上的“印象”，也就是“‘多少’的‘象’”，将这个“‘多少’的‘象’”记录下来。

那古人想要将抓到的兔子究竟有多少的这个“‘多少’的‘象’”记录下来，他们想到了哪些办法呢？

都记得吗？谁来说说？举手。

生：……

师：嗯，好，谢谢这几位同学帮大家做了回顾，大家给ta们呱唧呱唧，呱唧呱唧就是喝彩、鼓掌、点赞的意思呵。

生：……

师：好，老师接着讲，古人将他们想要记录的对象事物的“‘多少’的‘象’”先后用各种不同的办法记录过。

起初用过“垒石头”的方式，后来觉得不方便，就改用“打绳结”的方式，这两种办法的核心，都是采用一种可称之为“一一对应”的方式，也就是用甲物去代表乙物，有多少乙物就用多少甲物去代表。

在这个故事中，这个“对象事物”就是“抓到的那群兔子”，如果用的是“打绳结”的办法，那么“一一对应”的方式就是，每清点到一只兔子就在绳子上打一个个绳结去对应着那只兔子，有多少兔子就打多少绳结。

后来还是觉得不方便，于是又想新的办法。最后想到的办法是在一些物体的表面将对象事物的“‘多少’的‘象’”通过画画的方式记录下来。

这个用画画来记录对象事物的“‘多少’的‘象’”的方式也经历了不断地演化进步。

拿这个故事中记录兔子的“‘多少’的‘象’”来说吧。

刚开始是画兔子，而且还是“一一对应”的方式，每清点到一只真兔子，就在比如石壁上画一只兔子，有多少真兔子，就画多少只兔子。

类似这样：

后来觉得麻烦，于是又简化为画一只兔子代表记录的是兔子的“‘多少’的‘象’”，然后在这个画出的兔子旁边用画杠杠的方式来代表兔子，每清点到一只真兔子，就在比如石壁上画一条杠杠，有多少真兔子，就画多少条杠杠。

类似这样：

后来觉得还是不方便，因为对象事物太多了时，画杠杠画得太多了，不仅占地方而且也太麻烦。那怎么办呢？于是，想啊想，想啊想……

突然，有个古人一拍大腿，放声大笑，哈~哈~哈~哈~哈~哈~哈~哈~哈~哈~……

因为ta想到了一个绝妙的主意？这个主意是什么呢？

同学们，记得吗？谁来说说，举手。

生：……

师：对，看来同学们对前几节课的内容印象深刻啊，很好，老师很欣慰。

这个绝妙的主意就是：

发明一些“‘图形’符号”去代替表示事物的“‘多少’的‘象’”。

上表左起第一列即为所发明的十个“‘图形’符号”——其实应该是类似下图中的这样的：

甲骨文中表示“一~十”的‘“图形’符号”

图自网络

下面再在列表中提到这些“图形符号”时，就不用再出示这个“甲骨文”样式了——不方便，还是直接以“一~十”来代替，咱们就在心里记着其实应该是甲骨文这种“图形符号”哈。

用这十个“‘图形’符号”就可以直接表示“‘一’~‘十’”这十种“多少”的情形了。

那么，由于是“以‘形’代‘象’’’——以与对事物的“多少”这一“属性”的“感觉”不太亲近的“‘图形’符号”代替了与对事物的“多少”这一“属性”的“感觉”比较亲近的“‘印象’画面”——了，所以呢，我们就可以也需要将“‘多少’的‘象’”改个名称了，就叫“‘多少’的‘形’”吧。

注意啊，老师这时用的表述还是“‘多少’的‘形’”、而不是“数”或者“数量”。因为，仅仅到这一步还远远不够，不足以促使人类大脑中产生出“数”这个“概念”。“概念”又是什么意思呢？我们后面再专门解释。

那更多的“多少”的“‘多少’的‘形’”又该怎么去表示呢？

同学们，怎么去表示呢？谁来说说？举手。

生：……

师：同学们都提到了一个关键词叫“组合”，很棒。

确实，这时古人充分发挥ta们的智慧，就只是用已经发明的这十个表示“‘多少’的‘形’”的“图形符号”按照一定的“规则”进行组合，就可以去表示更多的“多少”的“‘多少’的‘形’”了。

我们具体看一下。

由于甲骨文之前的“图形符号”（中的大多数）我们不知道是什么样子的，所以我们还是以甲骨文中的“图形符号”来示意。

“多少”在“十”（含“十”）以内的“‘多少’的‘形’”直接用对应“图形符号”表示

上图从左至右依次为：二十、三十、四十、五十、六十、七十、八十、九十

上图从左至右依次为：十七、四十一（卌一）、八十八

上图从左至右依次为：十四（十有四）、五十六（五十有六）、三十七（卅又七）

上图从左至右依次为：十月又一、十牛有五

“多少”比“十”还“多”的“‘多少’的‘形’”用“‘图形符号’的‘组合’”表示

按以上系列图示的方式，以“单体”“图形符号”表示的“最多”的“多少”为“十”为基础，通过“单体”及其“合体/‘合文’”的“组合”可以表示到“九十九”这个“‘多少’的‘形’”。

当然，理论上，还可以继续表示比“九十九”更“多”的“‘多少’的‘形’”，比如采用“叠‘十’”的方式，我的设想是这样的：

“多少”比“九十九”还“多”的“‘多少’的‘形’”

用“叠‘十’的‘图形符号’的‘组合’”予以表示

（我的设想）

可以看出，虽然更多的表示“多少”的“‘多少’的‘形’”可以以带不断“叠加‘十’”的组合来表示，但是，人们觉得像带“十十”、“十十十”、“十十十十”这种叠加了多个“十”的组合，不仅解读困难，而且画起来还特别麻烦，于是将“十十”、“十十十”、“十十十十”分别发明新的“图形符号”来表示，即“百、千、万”。

这样，我们就有了十三个基本的表示“‘多少’的‘形’”的“单体”“图形符号”，见下图。

甲骨文中的十三个基本的表示“‘多少’的‘形’”的“单体”“图形符号”

有了“百”、“千”、“万”这三个新的“图形符号”的加入，再以将“单体”“图形符号”及其“合体/‘合文’”进行组合的方式去表示比“九十九”还“多”的“‘多少’的‘形’”就简便明晰多了。

我们来看一下。

上图从左至右依次为：二百、三百、四百、五百、八百

上图从左至右依次为：（一）百（一）十四、（一）百六十、二百六十九、

四百五十一、五百（一）十

上图从左至右依次为：一百九十九（百有九十有九）、

二百零九写作（二百有九）、三百四十八（三百又卌八）

上图从左至右依次为：（一）千、二千、三千、四千、五千、七千

甲骨文中未发现六千、八千、九千（写法应与“七千”的“分体”式类似）

上图为：二千六百五十

上图为：三万

（“三万”是甲骨文中发现的所有“‘多少’的‘形’”中表示“多少”最“多”的一个）

（“三万”是甲骨文中发现的最大的“数”）

随着“图形符号”样式的甲骨文逐步向简洁明了的“文字”样式的金文-石鼓文-篆文演化，甲骨文中的用于表示“‘多少’的‘形’”的十三个基本“图形符号”也一并演化为比较固定且简明的十三个基本的“‘文字’符号”，见下图。

查询自（在线）汉语字典（黄扬  主编，网址：http://dict.iguci.cn/）

用篆文中的“‘文字’符号”去表示事物的“多少”，与用甲骨文中的“‘图形’符号”去表示事物的“多少”，会呈现出不同的样态。如下图的对比：

从以上两图可推想对事物的“多少”的表示在甲骨文与小篆之间存在一些过渡性的样态，这些过渡性的样态应有如下特征：

第一，逐渐以“读写统/同一”【除“廿（二十）”、“卅（三十）”这两个“‘合文’之‘数’”外，其余“数”均用“单‘字’相继”的方式去表示】的形式去“记述（书记与述读）”事物的“多少”，即使在甲骨文中，对一些“比较‘多’”的“多少”的表示，其“‘书面’记录”虽然采用的是“（部分）合文/合书”的形式，但其“‘口头’描述”也即“读”法还是以十三个基本的“图形符号”或“”为基础对“‘多少’的‘形’”中的“图形符号‘单体’/‘合文’及其组合”按照逐个“读”出基本“单体”“图形符号”的方式来“读”的，这点在篆文中表现得就更明显了；

第二，萌发于甲骨文的“位值制”和“（十）进位制”在形式上体现得越发明显。

故而，老师猜想（注意，是猜想），在此过渡期内，古人在对事物的“多少”的表示中会产生类似于如下表的认识：

基于类似于上表的认识，我们随古人在对事物的“多少”这一“属性”的认识方面，又将取得“一大进步”，并最终完成“一个飞跃”。

同学们，你们先认真研究一下这个表。

给你们三分钟，三分钟后我们再接着讲。

好不好？

生：……

师：好的，我们接着讲。

我们先说这个又取得的“一大进步”是什么？

前面我们讲到，“以‘形’代‘象’’’——以与对事物的“多少”这一“属性”的“感觉”不太亲近的“图‘形’符号”代替了与对事物的“多少”这一“属性”的“感觉”比较亲近的“印‘象’画面”——促进了从“‘多少’的‘象’”向“‘多少’的‘形’”的演化。

同理，“‘文字’符号”对“‘图形’符号”的更替，是在“以‘形’代‘象’’’的基础上再进了一步，即“弱其‘象/形’而取其‘意’”。这样，表示事物“多少”的“‘多少’的‘形’”与对事物的“多少”这一“属性”的“感觉”就更远了，要明白一个“‘多少’的‘形’”所表示的“多少”究竟是“多少”，需要“解意”——相当于要在脑子里翻译一下（如同我们说“升国旗时操场上站了200个同学”时，我们的大脑中会将这句话翻译为一个相应的画面）。

于是，我们可以也需要将“‘多少’的‘形’”改称为“‘多少’的‘意’”。这是我们随古人在对事物的“多少”这一“属性”的认识方面，又取得的“一大进步”。

到现在为止，我们随着古人在对事物的“多少”这一“属性”的认识方面，已取得了三次大进步。我们总结一下，如下表：

同学们，有没有疑惑，有的就提出来，我们一起讨论。

记得哦，“愚蠢的问题不仅允许，而且受欢迎”。

要提问的举手。

生：……

师：好，我们接着往下讲。

在讲对事物的“多少”这一“属性”的认识上最后完成的“一次飞跃”之前，我们先讲一下表4中体现出来的“位值制/数位制”和“（十）进位制”，也就是为了表示事物的“多少”而将十三个基本的“‘文字’符号”进行组合的规则。

大家看表4啊，你们看出来了吗？

生：……

师：同学们都没头绪吗？还是看出意思了但是不知怎样去说即表达呢？

生：……

师：同学们，表达能力是需要练习的，多说一说，慢慢你就找到诀窍了。所以呢，老师希望同学们大胆地举手发言，不要怕说错。

谁来说说？

生：……

师：好，那老师带大家一起来探索一下吧。

我们先说“（十）进位制”，“进位制”有多种，“逢十进一”的叫“十进位制”，简称“十进制”。

同学们，看表4，“逢十进一”的规则表现得是不是特别明显呢？

生：……

师：嗯，好，同学们都有所发现。

我们看表4中每一行的最右边的两列，左边末尾是“九”，再“多”“一”就到“十”了，“逢十进一”，所以右边开头的都“多”了“一”。比如，我们看“八十九”，再“多”“一”该怎么表示呢？“多”“一”则末尾的“九”就变“十”了，那就“逢十进一”，进了“一”之后这个“位置”就“空”了，也就是没有相应的“‘文字’符号”来表示这个“空”的意思，当然了，也可以用“◯”来代替，但放在末尾，这个“◯”也不用“读”出，所以就干脆省略掉了；那这个“进”的“一”“进”到哪里去呢，往前碰到的是“八十九”中间的那个“十”，那是不是进到这个“十”上变成“十一”了呢，显然不是的，“十一”就是两个“‘文字’符号”了，而每个位置只能容纳一个“‘文字’符号”，实际上，这个“进”的“一”是“进”到最前面的“八”上去了，“八”“多”了“一”后就成了“九”，而中间这个“十”不变，故而最后得到的是“九十◯”，末尾的“◯”放在这没啥实际用处，于是省略掉，就成了“九十”了。

那“八十九”中间的“十”和“九十”末尾的“十”又是什么意思呢？

同学们，猜一猜。

生：……

师：对啦，这个“十”具有“位值”的意思，谁的“位值”呢？它前面的“九”的“位值”。具体说就是，前面的这个“九”表示的“多少”不是“九”，而是“九十”。

同理，比如“七百八十九”，其中的“十”和“百”都是对各自前面那个“‘文字’符号”的“位值”，也就是说，“十”前面的“八”表示的实际是“八十”，“百”前面的“七”表示的实际是“七百”。

同学们或许会疑惑，既然“七”表示的实际是“七百”、“八”表示的实际是“八十”，那后面的“百”和“十”是不是重复多余了啊？不是的，老师要跟同学们说一个道理，“真理就是真理的不在场”。什么意思呢？意思是，你要明白一个事物的本质和意义，那就假设它不存在或者说不在场，然后看看会出现什么情况。比如这里，你把“百”和“十”去掉，那就成了“七八九”，这是啥意思呢，就不好确定了，如果换成如“九百”这样的来看，就更明显了，你如果去掉“百”，那就只剩一个孤单寂寞冷的“九”了，那这个“九”怎么能表示“九百”的意思呢。

同学们或许仍疑惑，但“七八九”这样的，似乎可以理解为“七百八十九”啊。是的，对于这样的情况，不是不可以。但是我们要知道，规则只有统一了具有普遍适用的特点了才会好用并且方便用，你如果这里用这个规则，那里又用那个规则，另一种情况又用另一个规则，那这就乱套了，也是自己给自己找麻烦和不方便。

同学们，对不对？

生：……

师：对啦，规则要统一成普遍适用，才能简单、明确和方便。

所以呢，“七百八十九”这样的，其中的“百”和“十”是不能省略掉的，它们代表着各自前面的那个“‘文字’符号”实际表示的“多少”。

那这也就是“位值制”了。

比如，“六千七百八十九”，其中的“十”、“百”、“千”就是说明各自前面的“八”、“七”、“六”的“位值”即实际代表的“多少”，或者说，说明“八”、“七”、“六”因其所在的“位置”实际代表的是“多少”。如果“六千七百八十九”再“多”“一”，那么，末尾也就是末位的“九”就成“十”了，“逢十进一”，末位成了“空”的，所“进”的“一”往前面“进”，“进”到哪里呢，不是进到“十”上面，因为“十”这里表示的是它前面的“八”的“位置”，所以，“进”的这个“一”要“进”到“八”上，于是“八”就成了“九”，“九”还没到“十”，所以不用再“进”了，于是“六千七百八十九”再“多”“一”就是“六千七百九十”，注意记住了，末尾是有一个“末位”的，只不过它是“空”的，所以不显示，如果再“多”“一”，那么还是从这个“末尾”的“末位”开始，这个“末位”从“空”变成了“一”，于是得到“六千七百九十一”，再“多”“一”，得到“六千七百九十二”，再“多”“一”，得到“六千七百九十三”，依此类推，到了“六千七百九十九”，“末位”成“九”了，再“多”“一”则成“十”，要“逢十进一”了，“进”“一”后“末位”又成“空”了，“进”的“一”到“十位”的“九”，这个“九”又成“十”了（其实际含义是“九十”又“多”了“十”变成“（一）百”了），那就继续“逢十进一”，于是这个“十位”也成“空”了，这个“十位”要向前“进”的“一”就“进”到“百位”的“七”了，“七”就成了“八”，“八”不满“十”，不用再进了，于是得到“六千八百”，注意记住了，“十位”和“末位”是“空”的，所以不显示，如果“六千八百”再“多”“一”呢，那“末位”的“空”就变成了“一”，而“十位”的“空”仍然是“空”，于是就得到“六千八百一”，这样感觉怪怪的，唯独夹在中间的“十位”没体现，而且这个“末位”的“一”也容易被“误解”，尤其是后面再跟一个“十”或“百”或“千”或“万”的时候，就不知道这个“一”是归属于谁的了（要知道，古代是没有/不用标点符号的），于是干脆将这个“十位”体现出来，比如用“◯”，就成为“六千八百◯一”，或者用其它“‘文字’符号”加入以将末尾的“一”的归属确定下来，比如用“有”，就成为“六千八百有一”，或用“又”，就成为“六千八百又一”。

好了，“位值制”和“（十）进位制”就讲到这儿。

有疑惑的现在举手提问。

生：……

师：好了，接下来，我们要来完成“一次飞跃”，飞跃成功，我们就真正领会了“数”究竟是个东西，其本质是什么，也就是说，成功完成了这个飞跃我们就会发明“数”，并认识“数”。

在带你们作这次飞跃之前，我们先讲一段蕴含着深刻道理的趣事，帮你们放松一下大脑，养精蓄锐。

刚才讲到古人是不用标点符号的，

王德峰讲学习：深厚的基础是成就一切的关键

【风闻篇幅限制，此处略去】

师：好的，接下来，我们要开始“飞跃”了。

我们再来看表4。同学们，注意到最下面一行那个红色的长长的省略号了吗？你们猜想一下它究竟表示什么意思？

生：……

师：对啦，这个红色的长长的省略号所表示的意思是，后面还有好多好多好多好多个“‘多少’的‘意’”，它们分别表示的是比前面一个“‘多少’的‘意’”逐渐“多‘一’”的更多更多更多更多的“‘多少’的‘意’”。

这个“好多好多好多好多个”，多到“无穷无尽”；这个“更多更多更多更多”的“‘多少’的‘意’”所表示的“多少”，“多”到“没有极限”。

同学们，对这里提到的“无穷无尽”和“没有极限”，我们简称为“无穷”和“无限”吧，大家对“无穷”和“无限”这两个词的意思能不能想象，能不能理解？有没有疑问？

生：……

师：看来很多同学在对“无穷”和“无限”这两个词的意思的理解上有些困难。

这样吧，老师先将这会儿其实还没有产生的“数”、“数字”和“数量”这三个词用一下，用来解释这个“无穷”和“无限”。

“无穷”，指的是“数量”，也就是我们用“数字”可以表示的“数”的“数量”是很多很多很多很多的，多到怎样的呢，多到你一直数一直数，数到天荒地老、数到宇宙毁灭、数到无论多么遥远的未来、数到无论什么时候，这些“数”你也是数不完的，这就叫“无穷无尽”，我们简称为“无穷”。

“无限”，指的是“数”的“大小”，也就是我们用“数字”表示的“数”的“大小”是很大很大很大很大的，大到怎样呢，大到没有最大只有更大，这就叫大到“没有极限”，我们简称为“无限”。

同学们，现在对“无穷”和“无限”这两个词的意思有点明白了吗？

有疑问的就放心大胆地问，我们的课训就是“愚蠢的问题不仅允许，而且受欢迎”嘛。所以，只管问。或者有任何想说的，都可以说。

想说的举手。

生：……

师：嗯，同学们的直觉、想象力和理解力还是棒棒的，给你们点赞。

生：……

师：好，我们接着“飞跃”哈。

在前面的表5中，我们总结了我们随着古人在对事物的“多少”这一“属性”的认识上所取得了“三次大进步”，我们回顾一下：

有了与类似表4中的认识，尤其是那个红色的长长的省略号代表的“既无穷又无限”的认识，古人惊奇地发现：原本用于表示ta们所打交道的事物的“‘多少’的‘意’”已经不仅不是人类能用感官直接或多或少“感觉”得到的“多少”这种属性的“象”或“形”，而且还是一种可以超越人类感官之“感觉”的“特别的东西”，因为人类可以写出的“‘多少’的‘意’”所表示的“多少”已经远远超出ta们所打交道的事物所涉及到的“多少”，而且更为重要的是，这种“特别的东西”既“无穷”又“无限”。

那么，这种“特别的东西”及其这种既“无穷”又“无限”的“属性”，既然不是人类能用感官所能直接感觉得到的了，那人类是靠什么来“把握”的呢？

同学们，你们想一想，靠什么呢？

生：……

师：没头绪吗？那老师给点提示。

你现在正在“想”，那么，你的这个“想”是怎样的一种，诶，用什么词呢，哦，对，活动，你的这个“想”是怎样的一种“活动”呢？它靠的又是什么呢？

大家再想想。想到了什么想要说的，就放心大胆地说出来。

我们既然是“愚蠢的问题不仅允许，而且受欢迎”，当然对于错误的想法也不仅是允许的，而且也是受欢迎的。所以，尽管大胆猜想，放心地说。

想说的举手。

生：……

师：好，谢谢你（们）表达的想法。

你（们）说得对，靠的确实是大脑。但如果进一步思考，就会问：靠的大脑的什么呢？也就是说，人类的大脑是靠什么来进行“想”这种“活动”的呢？

生：……

师：好多同学说到了一个词叫“思维”，对啦，大脑就是靠“思维”来进行“想”或者说“思考”这种“活动”的。

有了这个认识，我们回到前面那个问题。

这种“特别的东西”及其这种既“无穷”又“无限”的“属性”，既然不是人类能用感官所能直接感觉得到的了，那人类是靠什么来“把握”的呢？

同学们再说说看。

生：……

师：对咯，是人类大脑中的“思维”。“思维”又是什么意思呢？我们后面再专门解释。

只有“思维”才能“把握”人类用感官不能直接感觉得到的这种“特别的东西”及其这种既“无穷”又“无限”的“属性”，别忘了哦，在这里，这种“特别的东西”指的是“‘多少’的‘意’”，尤其是其中的超出人类所打交道的事物所能涉及到的“多少”的那些“‘多少’的‘意’”。

也正是只有当人类凭借“思维”“把握”到这种“特别的东西”及其这种既“无穷”又“无限”的“属性”之后，人类才终于认识到：

凭感官能直接感觉得到的人类所打交道的事物所能涉及到的“多少”的那些“‘多少’的‘意’”只是“‘多少’的‘意’”当中的有限的一部分；而凭借“思维”“把握”到的“多少”的“‘多少’的‘意’”可以是、也其实是一个既“无穷”又“无限”的“整体”。

换句话说就是，人类终于认识到了一个叫做【既“无穷”又“无限”的“整体”/的/表示“多少”的“‘多少’的‘意’”/的】“新‘东西’”，这个“新‘东西’”也从此成为了人类与之打交道的一个“新的对象事物”。

人类将这个“新‘东西’”或者说是“新的对象事物”也就是【这个（是一个既“无穷”又“无限”的“整体”/的）表示“多少”的“‘多少’的‘意’”】名之为“数”。

人类完成了从“‘多少’的‘意’”向“数”的“飞跃”。

也就是说，人类终于发明了“数”。

在发明“数”的过程中，人类也认识了“数”。

同学们，通过这几节课你们也与古人一起经历了发明“数”的过程，那么，老师问你们，你们认识了“数”吗？

生：……

师：你们都不说话，是不是因为有这样的感觉：似乎有千言万语，但就是说不上来，或者不知道从何说起、如何去说。是不是这种感觉？

生：……

师：老师要说，这种感觉很正常，因为，在发明“数”的过程中所领会到的对于“数”的认识，确实有很多都是那种“只可意会不可言传”的东西。

那什么叫“只可意会不可言传”呢？它的意思是说，凭借自己的思维意识领会到了“什么”，但这个“什么”无法用言语去传达或者说表达。

同学们，你们的感觉是不是有点“只可意会不可言传”的意思呢？

生：……

师：现在我们言归正传，接着讲人类发明了“数”并认识了“数”之后的事情。

有了“数”，那么，就可以用“数”去表示事物的“多少”了；并且，有了“数”，人类就衍生出了“量”的概念；那么，用于表示事物“多少”的“量”就叫“数量”了。

有了“数”这个名称，那么，用于表示“数”的“十四大基本‘图形符号’”，古人应该会给它们一个简单的名称，但是老师不知道古人究竟给了它们一个什么“名称”，所以老师在这里姑且给它们一个名称，叫“数符”——表示“数”的“符号”。我们知道，这些“数符”在与其余的表示其它意思的“图形符号”在后来一起演变为了并被命名为了文字，所以，老师给的名称“数符”就可以跟它说，拜拜了你呐，新的名称叫“数字”。

同时呢，按以“十进位制”即“逢十进一”为基础的规则对数字进行组合的方式来表示数的方法就被称为“记数法”。

这里，有一点老师要提醒大家要注意哦，那就是：

“数字”和“数”不是一个东西，数字是表示数的符号。

同学们，还记得这节内容的第一课时我们玩的不用数来说事物多少的小游戏吗？

生：……

师：好麻烦，好痛苦的，对不对？

生：……

师：那你们应该能体会古人发明了“数”以后的那种喜悦了。

自从发明了“数”、认识了“数”，人类就可以很方便且很明确地去“‘口头’描述”和“‘书面’记录”事物的“多少”了。对不对？

生：……

师：大家注意没有，我们刚刚发明的“数字”、“记数法”和“数”用的都是我们中国的汉字。所以呢，这表示这是我们中国古人的发明。

我们中国古人发明的汉字数字和用这些数字来表示数的记数法，很方便，很好用。但是呢，古印度人发明的数字，后来叫阿拉伯数字了，用这些阿拉伯数字来表示数的记数法，比我们的更好用。于是呢，一百多年前，我们中国也引入了阿拉伯数字及其记数法。

大家还记得我们上节课讲的有关阿拉伯数字及其记数法的内容吗？

生：……

师：好，我们对这部分内容也来做个回顾和总结。

【风闻篇幅限制，此处略去】

师：老师要问同学们一个问题，这个问题在大多数人看来，就是一个貌似愚蠢的问题，或者说是一个“不问白不问，问了也白问”的问题。

这个问题是：为什么/凭什么1+1=2啊？

同学们曾经想到过这个问题吗？

生：……

师：得到过解答吗？

生：……

师：那通过老师讲的这些内容，同学们能对“为什么/凭什么1+1=2”这个问题给一个解释吗？

生：……

师：当然了，“为什么/凭什么1+1=2”，这个问题具有多面性，可以从哲学层面去探讨，可以从数学层面去探讨，给出的说法会不一样。

老师这里用我们从“重新发明”“数”的过程中获得的对“数”的认识来给出一个解释性的说法。注意咯，老师用的词是“说法”、“解释性的说法”，并非一个可以作为正确答案的解答，只是给同学们参考和启发的，以后同学们要自己去深入思考这个问题。

老师要给出的说法其实很简单：1+1=2是在人类发明“数字”的过程中就已经被潜在地规定了的。注意其中的关键词，“规定”。

这话什么意思呢？

【风闻篇幅限制，此处略去】

（8）提炼出与数学及其思维方式相关的基本概念

师：好，接下来老师要讲一些与数学及其思维方式相关的基本概念。

老师问同学们一个问题：

“数”是人类与之打交道的自然界中的具体事物吗？

生：……

师：没明白什么意思，是吧？那老师解释一下这个问题。

“自然界”是什么意思呢？其实没有有共识的定义。所谓“共识”，就是大家都接受并认同的说法。所谓“定义”，就是精确性的含义。也就是说，对自然界的定义多种多样，这些定义从不同的视角或层次去看待自然界。这里，老师取其中一种定义：自然界就是人类身处其中的物质世界。那“物质”又是个什么东西呢？这还真得没法下定义了，至于为什么没法下定义，感兴趣的同学可以私下找老师讨论。虽然不能下定义，但是还是可以做个解释性的说明，可以将“物质”理解为人的头脑之外的真实世界中真实存在的东西或者说物体。

具体事物的意思就是你能“看得见、摸得着”的或者说可以用你的感官直接感觉到的东西，当然这里的“感官”包括了人类发明的延申性的“工具”或“仪器”，比如望远镜是我们的眼睛这个感官的延申。

好了，现在问：“数”是这些可以用感官直接感觉到的东西吗？

生：……

师：对了，感觉不到的，我们能感觉得到的是具体的事物及其“多少”这种给人的“感觉印象”，也即“‘多少’的‘象’”，而“数”是一个“既无穷又无限”的“新东西”，我们用感官是感觉不到“既无穷又无限”的，所以也就不能感觉到“数”了。

那人类怎么能做到发明这种感觉不到的东西的呢？这是一种什么能力呢？我们管这种能力叫“抽象”，与“抽象”相对的一个词叫“具象”，“具象”的意思可以理解为“具体事物的形象”，“具体事物”是人类可以“看得见、摸得着的”或者说可以凭借人类的感官直接感觉得到的东西，这个“形象”在这里的意思是这些东西表现出来的可以被我们感觉到的属性，比如我们说“一群兔子有多少”，“一群兔子”这个群体就是具体事物，“多少”就是这个事物即这群兔子所表现出来的能被我们感觉到的一个属性——这群兔子作为一个群体的属性。

所以呢，既然“数”不是可以用感官直接感觉到的东西，也就是说，它们不是一个“具象”的东西，那它们就是我们人类从“具象”中“抽”出来的属性，被“抽”出来的属性是我们直接感觉不到的，我们管这个“抽”的过程叫“抽象”，被“抽象”出来的东西我们管它叫“概念”。所以，古人发明的“数”是古人从具体事物的“具象”中“抽象”出来的一个“概念”。对抽象的概念进行思维或者说基于抽象概念的思维或者说以抽象地方式进行的思维就叫“抽象思维”，所以，前面我们说的对于“数”这个“既无穷又无限”的“新东西”用感官感觉不到而只能用“思维”去把握的“思维”，说的其实是“抽象思维”。

我们发明“数”的过程其实是一个从对事物“多少”的感觉印象这个“具象”中逐渐“抽象”的过程，我们通过一组图片来重温一下这个过程。

数的发明简史（图自网络）

这个抽象过程归纳如下表。

同学们，体会到这个逐渐抽象的过程了吗？

生：……

师：抽象思维及其能力，是人类大脑本身就具有的，古人有，我们也有，而且相对来说，我们现在的人的大脑的这种“抽象思维及其能力”比发明数字及其记数法的这些古人强得多了，因为古人不断地发明新的抽象的概念并对这些抽象概念进行抽象思维，而往后的古人就不断地通过学习这些而使得自己的“抽象思维及其能力”越来越发达，而且着这种越来越发达的能力就被再往后的古人不断地继承下来，一直到我们现在。

所以呢，同学们要对自己有信心，好不好？

生：……

师：最后，老师要恭喜所有的同学们，因为我们随着古人的有趣的故事一步一步地加深了对事物的“多少”这个属性的认识，并最终“发明”了“数”。而有了“数”的概念，人类随即就有了“量”的概念。于是我们就可以用“数”来表示事物的“多少”这个“属性”的“量”，也就是“数量”了；也可以用“数”来表示事物的“轻重”这个“属性”的“量”，也就是“重量”了。

你们真棒诶，跟那些发明数的伟大的古人一样，发明了“数”了诶。

让我们给我们自己呱唧呱唧。

生：……

师：现在，我们还有最后一个问题：我们刚刚发明的“数”，其实就是被称为“自然数”的“数”，那为什么叫它“自然数”呢?

同学们思考一下。

生：……

师：老师猜想，注意哦，是猜想啊，不一定正确哦。但是呢，老师认为大胆猜想非常重要，所以一时不能找到确定的正确的答案的问题，我们可以大胆尝试去猜想。

老师对“自然数”为什么叫“自然数”的猜想是：

【风闻篇幅限制，此处略去】

师：好啦，我们这个第一节《“重新‘发明’”“（自然）数”》的主要内容就全部讲完了。

老师称我们这种学习数学的方式叫做“‘重新发明’数学”，“自然数”是我们在数学学习过程中做出的第一个伟大的发明。

老师提议，为我们伟大的发明，巨大的进步，呱唧呱唧。

生：……

师：但是呢，对“‘（自然）数’究竟是怎么来的”这个问题，老师要再强调两点：

第一，就目前人类的研究所知来看，仍然是不太清楚的，所以它仍然是个“‘开放性’问题”；

第二，老师带着同学们“‘重新发明’‘（自然）数’”的过程，只是对这个问题的一种可能的解释，也就是它只是一种“猜想”，即使老师的这个“猜想”有一定的坚实的依据，比如：“数”这个“文字”——以及“量”这个“文字”——在甲骨文中是没有的（至少是未发现），直到篆文（对应的历史时期是西周至秦朝一统之间）中才出现；这说明，甲骨文时期古人还没有“数”的“（‘抽象’）概念”，或者说，还没有认识到作为“（抽象）概念”的“数”；另外，当今仍然存世的一些原始部落，他们对“多少”的表示只有简单的几个“‘语音’符号”——恐怕不能称之为“数”或“数字”，比如“一”、“二”、“三”、然后就完了，有的最多也只是到“七”。

​

所以，同学们不可以将我们“‘重新发明’‘（自然）数’”的过程当作是这个问题的正确的答案，更不能当成唯一的答案，而应该只是将它作为一个参考。

同学们，记住了吗？

生：……

师：好。最后老师再嘱咐一个事。

为了让大家对“‘（自然）数’究竟是怎么来的”这个问题有一个更加全面而深入的了解，老师专门为本节内容写了个“跋”，希望同学们课后能阅读一下，广博见识，启发思考。老师向大家保证，这篇文章里有不少有趣的内容，可以在带你们大开眼界的过程中，帮助你们全面而深入的理解“‘（自然）数’究竟是怎么来的”这个问题。

同学们，课后一定要阅读哦，好不好？

生：……

师：那这节课就讲到这里。谢谢同学们认真听讲。（鞠躬致意）

同学们再见！

生：老师再见！

【第一节课堂教学内容，完】